私家车和公交车发生交通事故的赔偿方式可以简化为以下步骤：

1、责任划分：首先，需要根据交通事故的具体情况来确定双方的责任。这通常基于公安机关交通管理部门出具的交通事故认定书。

2、保险赔偿：

如果双方车辆都购买了机动车第三者责任强制保险，那么首先应由保险公司在责任限额范围内进行赔偿。

如果赔偿金额超过保险责任限额，或者未购买相关保险，那么需要进入下一步的赔偿流程。

3、双方责任比例赔偿：

根据交通事故责任划分，如果私家车或公交车一方负全部责任，那么由该方承担全部赔偿责任。

如果双方都有责任，那么按照各自过错的比例分担责任，即各自承担相应比例的赔偿责任。

4、赔偿项目：赔偿项目通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费、残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费、康复费、后续治疗费、丧葬费、死亡补偿费等。

5、协商或诉讼：双方可以先就赔偿问题进行协商，如果协商不成，可以提起民事诉讼，由法院根据事实和法律进行判决。

总之，私家车和公交车发生交通事故的赔偿方式主要依据事故责任划分、保险赔偿以及双方责任比例赔偿等原则进行。在处理此类事故时，建议双方保持冷静，积极配合相关部门的调查和处理，以便尽快解决问题。